第054章：数理争锋：智破天堑气自华 (第2/2页)

计算EO（中位线，EO∥PA且EO=21PA=1），OC（对角线一半，2），PA⊥OC？
　　
　　需证OC⊥面EBD？
　　
　　思路卡顿。
　　
　　标记，跳过。先保证会做的题拿满分。）
　　
　　第三部分：压轴题（共20分，考察思维深度与创新能力）
　　
　　四、压轴题（本题20分）
　　
　　已知函数f(x)=x立方−3x。
　　
　　（1）求函数f(x)的单调区间与极值；
　　
　　（2）若关于x的方程f(x)=k有三个不等的实根，求实数k的取值范围；
　　
　　（3）在（2）的条件下，设方程的三个实根分别为x1,x2,x3，且x1
　　
　　（林怀安应对：看到此题，他目光一凝。此题综合性强，难度梯度明显，是拉开差距的关键！
　　
　　他迅速调动“函数与方程”思想，“数形结合”方法跃然脑中。）
　　
　　通览全卷后，林怀安心中有数。
　　
　　他按顺序答题，稳扎稳打。
　　
　　基础题和中档题的前几问，他思路清晰，计算精准，书写流畅，如同精密仪器运行。
　　
　　遇到选择题第2题和中档题第2问的暂时卡顿，他毫不犹豫地跳过，并在草稿纸醒目位置做了标记。
　　
　　这是他的策略：绝不因小失大，确保有效得分。
　　
　　很快，他完成了前面所有题目，时间还剩约半小时。
　　
　　礼堂里已响起沙沙的翻卷子和轻声叹息，显然不少人被难题困住。
　　
　　他深吸一口气，将全部精力投向最后的压轴题。
　　
　　（1）求单调区间与极值。
　　
　　他笔走龙蛇：f′(x)=3x平方−3=3(x−1)(x+1)。令f′(x)=0，得x=±1。列表分析，得：f(x)在(−∞,−1)和(1,+∞)上单调递增，在(−1,1)上单调递减。
　　
　　极大值f(−1)=2，极小值f(1)=−2。
　　
　　顺利完成。
　　
　　（2）方程f(x)=k有三不等实根，求k范围。
　　
　　“方程根的问题，转化为函数图像交点！”
　　
　　他立刻想到“数形结合”。
　　
　　y=f(x)的图像是“N”型曲线，y=k是水平线。
　　
　　要有三个交点，水平线必须介于极大值与极小值之间！
　　
　　即−2
　　
　　他严谨地在答案上注明：
　　
　　“当且仅当k∈(−2,2)时，方程有三个不等的实根。”
　　
　　（3）求证：x1+x2+x3=0。
　　
　　这是本题难点，也是区分度所在！
　　
　　直接解方程求根再相加？
　　
　　根本行不通！
　　
　　三次方程求根公式复杂且不在要求范围内。
　　
　　“怎么办？”
　　
　　林怀安眉头微蹙，大脑飞速运转。
　　
　　他想起韦达定理！
　　
　　但韦达定理适用于所有根？
　　
　　对！
　　
　　对于一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0，三根之和x1+x2+x3=−b/a！
　　
　　他眼前一亮！
　　
　　方程f(x)=k即x3−3x−k=0！
　　
　　这里a=1,b=0！
　　
　　所以x1+x2+x3=−b/a=0！
　　
　　竟然如此简洁！
　　
　　他几乎要拍案叫绝！
　　
　　关键在于将原方程进行移项，化为标准三次方程，并注意到二次项系数为0！
　　
　　这需要对韦达定理的深刻理解和敏锐的观察力！
　　
　　他强压心中激动，在答卷上工整书写：
　　
　　“证明：方程f(x)=k可化为x立方−3x−k=0。
　　
　　设其三根为x1,x2,x3。
　　
　　由韦达定理，x1+x2+x3=−10=0。
　　
　　故结论成立。”
　　
　　逻辑严谨，无懈可击！
　　
　　一种智取的快感油然而生。
　　
　　这正是在乙班周考受挫后，他针对性加强“高阶数学思想”和“一题多解”训练的成果！
　　
　　申时正（15：30），终考铃声准时响起。
　　
　　林怀安从容搁笔。
　　
　　他再次检查了姓名、准考证号，并快速复查了之前标记的难题。
　　
　　对于选择题第2题，他静心重算，发现用正弦定理先求角B更直接，最终确定答案为C.4。
　　
　　对于立体几何第（2）问，他意识到关键在证明OC⊥BD且OC⊥EO（或通过建系法），但因时间所限，确保思路正确，步骤分到手即可。
　　
　　他双手将试卷奉上。
　　
　　监考的数学杨先生接过试卷，目光习惯性地扫过压轴题部分。
　　
　　当看到那简洁而有力的韦达定理证明时，他眼中闪过一丝毫不掩饰的激赏，甚至微微点了点头！
　　
　　林怀安坦然受之，施礼后转身离去。
　　
　　步出礼堂，下午的阳光依旧炽烈，但他心中却是一片清凉与畅快。
　　
　　数学一役，他不仅稳住了基本盘，更在压轴题上展现出了超越丙班、直逼乙班尖子生的思维高度！
　　
　　【叮！数学科目考试结束！】
　　
　　【评估：宿主发挥极其稳定，“精密思维”模式全程在线！“心流”状态成功迁移并保持！】
　　
　　【压轴题破解评估：S级（卓越）！
　　
　　成功运用“高阶数学思想”（韦达定理）巧妙解决难题，展现了强大的知识迁移与洞察力！】
　　
　　【“飞轮效应”再次得到强力助推！惯性巨大，势不可挡！】
　　
　　【预计数学成绩将对总排名产生决定性提升作用！
　　
　　请宿主再接再厉，迎接后续科目挑战！】
　　
　　系统的肯定如期而至。林怀安走在回宿舍的路上，脚步轻快。
　　
　　一日两场大战，文理双线告捷！
　　
　　这极大地提振了他的信心。
　　
　　明日，还有英语、物理的硬仗要打。
　　
　　但他此刻，已是“胸有惊雷而面如平湖”，充满了必胜的信念！